椭圆的标准方程（焦点在x轴/y轴）与a、b、c关系

公式初稿待审

xx1-c3-s1-k2

一句话 · 看分母大小定焦点位置，分母大的下面是 a²；三个字母永远满足 a²=b²+c²，a 最大。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

椭圆的定义（2a>2c）与焦点三角形

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 4 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

板书（跟着讲稿逐行出现）

问题：把几何条件 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 2 a$ 翻译成 $x$ 、 $y$ 的方程

讲稿

上一节用绳子和两个钉子画出了椭圆。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例1 已知 $F_{1} (- 4, 0)$ ， $F_{2} (4, 0)$ ， $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 10$ ，求椭圆的标准方程
- 定型：焦点在 $x$ 轴 → 设 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$
- 定量： $2 a = 10 \Rightarrow a = 5$ ； $c = 4$ ； $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 16 = 9$
- 写方程： $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$
卡住了？展开这一段的讲解
看第一道题。两个焦点是负四零和四零，椭圆上一点到它们的距离之和是十。求这个椭圆的标准方程。先定型，焦点在 x 轴上。所以设成 x 平方比 a 平方，加 y 平方比 b 平方，等于一。距离之和是十，所以 a 等于五。两个焦点给出 c 等于四。再用 a 平方等于 b 平方加 c 平方，算出 b 平方等于九。方程是 x 平方比二十五，加 y 平方比九，等于一。
2第 8 段例题
- 例2 焦点在 $y$ 轴上，且经过点 $(3, 0)$ 、 $(\frac{9}{5}, 4)$ ，求标准方程
- 定型：焦点在 $y$ 轴 → 设 $\frac{y ^{2}}{a ^{2}} + \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$
- 代入 $(3, 0)$ ： $\frac{9}{b ^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 9$
- 代入 $(\frac{9}{5}, 4)$ ： $\frac{16}{a ^{2}} + \frac{9}{25} = 1 \Rightarrow \frac{16}{a ^{2}} = \frac{16}{25} \Rightarrow a^{2} = 25$
- 写方程： $\frac{y ^{2}}{25} + \frac{x ^{2}}{9} = 1$
卡住了？展开这一段的讲解
第二道题换个方向。已知椭圆的焦点在 y 轴上，并且经过两个点。第一个点是三和零，第二个点是五分之九和四。求这个椭圆的标准方程。焦点在 y 轴上，所以设成 y 平方比 a 平方。再加 x 平方比 b 平方，等于一。把三零代进去，得到 b 平方等于九。再把第二个点代进去，解出 a 平方等于二十五。方程是 y 平方比二十五，加 x 平方比九，等于一。
3第 9 段例题
- 例3 椭圆 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{m} = 1$ 的焦距为 $8$ ，求 $m$
- 焦距 $8 \Rightarrow 2 c = 8 \Rightarrow c^{2} = 16$ ；焦点位置不确定，要分类
- ① 焦点在 $x$ 轴： $a^{2} = 25$ ， $b^{2} = m$ → $m = 25 - 16 = 9$
- ② 焦点在 $y$ 轴： $a^{2} = m$ ， $b^{2} = 25$ → $m = 25 + 16 = 41$
- 所以 $m = 9$ 或 $m = 41$ （前提 $m > 0$ 且 $m \neq = 25$ ）
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第三道题是重点，焦点位置没告诉你。已知方程 x 平方比二十五，加 y 平方比 m，等于一。它的焦距是八，求 m 的值。焦距是八，所以 c 平方等于十六。焦点在哪条轴上？题目没说。所以要分两种情况。第一种，二十五更大，焦点在 x 轴上，m 等于二十五减十六，等于九。第二种，m 更大，焦点在 y 轴上，m 等于二十五加十六，等于四十一。所以 m 等于九，或者四十一。顺便检验，m 还得是正数。
4第 10 段例题
- 例4 求经过点 $P (3, - 2)$ 、 $Q (- 23, 1)$ 的椭圆的标准方程（焦点在坐标轴上）
- 焦点位置不确定 → 设 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ， $m \neq = n$ ）
- 代入 $P$ ： $3 m + 4 n = 1$ ；代入 $Q$ ： $12 m + n = 1$ → $m = \frac{1}{15}$ ， $n = \frac{1}{5}$
- 即 $a^{2} = 15$ ， $b^{2} = 5$ ；分母大的在 $x^{2}$ 下 → 焦点在 $x$ 轴
- 写方程： $\frac{x ^{2}}{15} + \frac{y ^{2}}{5} = 1$
卡住了？展开这一段的讲解
第四道题把焦点位置藏起来了。求经过点根号三负二和负二倍根号三一的椭圆的标准方程。这种题有个省事的办法。设方程是 m 倍 x 平方，加 n 倍 y 平方，等于一。因为焦点在坐标轴上，中心在原点，方程一定是这个样子。把两个点代进去，解出 m 等于十五分之一，n 等于五分之一。也就是 a 平方等于十五，b 平方等于五。分母大的在 x 平方下面，所以焦点在 x 轴上。方程是 x 平方比十五，加 y 平方比五，等于一。

③章节训练

第3章圆锥曲线与方程 · 限时综合卷

题量

9 题

总分

60 分

限时

45 分钟

覆盖知识点

3 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

把 a²=b²+c² 记成 a²+b²=c²，算出 c>a，焦点跑到椭圆外
焦点在 y 轴时把 a² 写到 x² 下面，方程形式套反
焦点位置不确定时不分类讨论，直接默认焦点在 x 轴
算出 a²、b² 后忘记按焦点位置写回标准方程，或漏写 a>b>0

看完自测（3 题）

椭圆 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{25} = 1$ 的焦点在哪条轴上？坐标是什么？
看答案与理由
答：焦点在 $y$ 轴上，坐标为 $(0, \pm 3)$
为什么： 分母 $25 > 16$ ，大的分母在 $y^{2}$ 下面，所以 $a^{2} = 25$ ， $b^{2} = 16$ ， $c^{2} = 25 - 16 = 9$ 。
椭圆中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足什么关系？谁最大？
看答案与理由
答： $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ，且 $a$ 最大
为什么： 直角边为 $b$ 、 $c$ ，斜边为 $a$ ；若写成 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 会得到 $c > a$ ，焦点跑到椭圆外。
焦点在 $y$ 轴上且经过点 $(3, 0)$ 、 $(\frac{9}{5}, 4)$ 的椭圆的标准方程是什么？
看答案与理由
答： $\frac{y ^{2}}{25} + \frac{x ^{2}}{9} = 1$
为什么： 由 $(3, 0)$ 得 $b^{2} = 9$ ；再把 $(\frac{9}{5}, 4)$ 代入得 $\frac{16}{a ^{2}} + \frac{9}{25} = 1$ ，所以 $a^{2} = 25$ 。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。