「至少有一个发生」类问题的反面计算
方法初稿待审bx2-c15-s3-k4
一句话 · 「至少有一个发生」的正面对立事件是「一个都不发生」，故 P(至少一个发生)=1−P(都不发生)；各事件相互独立时可直接把都不发生的概率拆成乘积，不独立时不能这样拆。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
试验：把一枚骰子掷三次
事件：「至少有一次掷出 6」
正面算法要分成恰有一次、恰有两次、三次都有
问题：有没有更省事的算法
掷三次骰子，至少有一次掷出 6 的概率怎么算？
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
反面：三次都不是正面
每次不是正面的概率是 1/2
三次互不影响，所以概率是 (1/2)³ = 1/8
P(至少一次正面) = 1 − 1/8 = 7/8
答：概率为 7/8
卡住了？展开这一段的讲解
抛三次硬币，求至少有一次正面朝上的概率。
- 2第 8 段例题
袋中 3 红 2 白，每次摸到白球的概率是 2/5
反面：两次都摸到白球，概率 (2/5)² = 4/25
P(至少一次红球) = 1 − 4/25 = 21/25
直接算要分「恰好一次」与「两次都红」
答：概率为 21/25
卡住了？展开这一段的讲解
有放回地摸两次球，求至少摸到一次红球的概率。
- 3第 9 段例题
第一次摸到白球的概率是 2/5
第一次取走后只剩 1 个白球、共 4 个球
所以第二次摸到白球的概率是 1/4
P(两次都白) = 2/5 × 1/4 = 1/10
P(至少一次红球) = 1 − 1/10 = 9/10
卡住了？展开这一段的讲解
若不放回，两次都摸到白球的概率要按取球顺序算。
- 4第 10 段例题
设 A、B、C 分别表示答对第 1、2、3 题
三题互不影响，P(A) = P(B) = P(C) = 0.9
都不发生：三题都没答对，概率 0.1³ = 0.001
P(至少答对一题) = 1 − 0.001 = 0.999
答：概率为 0.999
卡住了？展开这一段的讲解
三道题都不会做的概率好算，反面用起来最省事。
③章节训练
第15章 概率 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把「至少有一个发生」的反面写成「不都发生」，弄错了对立事件
- 各事件不独立时，仍把「都不发生」的概率拆成各自不发生的概率之积
- 事件不互斥时用加法公式求并的概率，导致结果偏大
- 算出结果后不检查是否落在 0 与 1 之间
看完自测（3 题）
「至少有一个发生」的反面是什么？
看答案与理由
答： 是「一个都不发生」，也就是各个事件都不发生。这两个事件互斥（不可能同时成立）且并起来是 Ω（要么至少一个发生，要么一个都没发生），所以互为对立事件，可以用 1 减去反面。
为什么： 反面写错，后面全错；先确认「都不发生」才是补集，再动手算。
什么时候可以把「都不发生」的概率拆成各个概率的乘积？
看答案与理由
答： 当各事件相互独立时。独立意味着一个发生与否不影响另一个，此时 P(\bar{A}$$\bar{B})=P()P()，从而 P(A∪B)=1−P()P()。不独立时不能这样拆，只能另想办法求「都不发生」的概率。
为什么： 乘积公式的前提是独立；不放回摸球、连续抽取这类问题最容易在这里出错。
为什么「至少有一个发生」常用反面算，而不是直接分类相加？
看答案与理由
答： 因为它要分成恰有一个、恰有两个等多种情况，分类多且容易漏算或重算；而它的反面「一个都不发生」只有一种情况，概率通常一步就能算出，再用 1 减更省事也更稳。
为什么： 选择算法的依据是「哪种情况更好数」，这也是反面算法的适用条件。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。