相互独立事件及其同时发生的概率
概念初稿待审bx2-c15-s3-k3
一句话 · A 与 B 相互独立指一个发生与否不影响另一个，定义式是 P(AB)=P(A)P(B)（AB 即 A∩B），多个独立事件同时发生的概率等于各自概率之积；互斥是 A∩B=∅，两者是两回事。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
试验：把一枚骰子掷两次
A =「第一次点数是 6」
B =「第二次点数是 6」
问题：两次结果互不影响，P(AB) 等于什么
掷两次骰子，第一次的结果会影响第二次吗？
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
A = {第一次是 6}，P(A) = 1/6
B = {第二次是 6}，P(B) = 1/6
两次结果互不影响，所以 A 与 B 相互独立
P(AB) = 1/6 × 1/6 = 1/36
答：概率为 1/36
卡住了？展开这一段的讲解
掷两次骰子，求两次都掷出 6 的概率。
- 2第 8 段例题
A =「第一次是 6」，B =「两次点数相同」
P(A) = 1/6，P(B) = 6/36 = 1/6
AB =「两次都是 6」= {66}，P(AB) = 1/36
P(A)P(B) = 1/36，与 P(AB) 相等
答：A 与 B 相互独立，但 AB 不是空集，互不互斥
卡住了？展开这一段的讲解
掷两次骰子，A 是第一次为 6，判断 A 与 B 是否独立。
- 3第 9 段例题
设 A、B、C 分别是答对第 1、2、3 题
P(A) = P(B) = P(C) = 0.9
三题互不影响，所以相互独立
P(ABC) = 0.9 × 0.9 × 0.9 = 0.729
答：全部答对的概率为 0.729
卡住了？展开这一段的讲解
三道小题的结果互不影响，求全部答对的概率。
- 4第 10 段例题
掷一枚骰子：A =「点数是 1」，B =「点数是 2」
A∩B = ∅，A 与 B 互斥
P(A∩B) = 0，而 P(A)P(B) = 1/36 ≠ 0
所以互斥的 A 与 B 并不相互独立
卡住了？展开这一段的讲解
用独立与否做对比：互斥时交的概率是零。
③章节训练
第15章 概率 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把互斥事件当成相互独立，直接相乘算同时发生的概率
- 不验证定义式，只凭「看上去互不影响」就断定独立
- 把「两个事件的概率相等」当作相互独立的理由
- 以为独立事件一定不能同时发生，与互斥混淆
看完自测（3 题）
怎样判断两个事件是否相互独立？
看答案与理由
答： 先分别求出 P(A)、P(B) 与 P(AB)，再看 P(AB)=P(A)P(B) 是否成立：成立就相互独立，不成立就不独立。若要利用独立性求概率，也必须先做这个判断。
为什么： 定义式是判定的唯一标准，「互不影响」只是直观说法，不能替代计算。
互斥与相互独立有什么不同？
看答案与理由
答： 互斥是 A∩B=∅，说的是两个事件不同时发生；相互独立是 P(AB)=P(A)P(B)，说的是一个发生与否不影响另一个。互斥事件若两个概率都大于 0，则 P(AB)=0 而 P(A)P(B)>0，所以互斥一般不独立；独立事件若两个概率都大于 0，则 P(AB)>0，所以独立一般不互斥。
为什么： 这是本节最容易混的一对概念，分清「能不能同时发生」与「有没有影响」是关键。
三个事件相互独立时，P(ABC) 等于什么？
看答案与理由
答： 等于 P(A)P(B)P(C)。因为相互独立说明各事件互不影响，三件事同时发生的概率等于三个概率的乘积；事件更多时同样逐个相乘。
为什么： 推广形式是求「同时发生」类问题的常用工具，注意前提是相互独立。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。