古典概型的计数（有序与无序的区分）
方法初稿待审bx2-c15-s2-k2
一句话 · 古典概型计数时，有序把先后位置不同的结果分开数、无序只看选出了哪些；关键是 n 与 m 必须用同一种口径，否则算出的不是概率。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
问题：从编号 1、2、3、4 的四个球中取出 2 个
一次摸出 2 个：不区分先后
先后各摸 1 个（不放回）：区分先后
两种数法得到的 n 不同，但概率应当相同
一次摸出两个球，和先后各摸一个球，数出来的结果一样吗？
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
一次取出 2 个，不区分先后，按无序数
先按有序数：5×4 = 20
每种组合被数了 2 次，所以 n = 20÷2 = 10
答：样本点总数为 10
卡住了？展开这一段的讲解
从编号一到五的五个球中一次取出两个，共有多少种结果？
- 2第 8 段例题
先后取数，位置不同算不同结果，按有序数
第一步 3 种，第二步剩 2 种，n = 3×2 = 6
答：样本点总数为 6
卡住了？展开这一段的讲解
从三个数中先后不放回地取两个，能组成几个两位数？
- 3第 9 段例题
无序：n = (4×3)÷2 = 6，m = 2（{1,4}、{2,3}），P = 2/6 = 1/3
有序：n = 4×3 = 12，m = 4（(1,4)、(4,1)、(2,3)、(3,2)）
有序时 P = 4/12 = 1/3
两种口径结果一致
答：概率为 1/3
卡住了？展开这一段的讲解
从四张卡片中取两张，求编号之和为五的概率，两种口径各算一遍。
③章节训练
第15章 概率 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- n 按无序数、m 按有序数（或反过来），两边口径不一致，概率被算大或算小
- 把「一次取出」当成有先后，或把「先后取出」当成不分先后，导致样本点重复或遗漏
- 同一次抽取里混用有放回与不放回
- 只顾数对样本点个数，忘了检查每个样本点是否等可能
看完自测（3 题）
什么时候按有序计数，什么时候按无序计数？
看答案与理由
答： 题目出现「先后、依次、不放回地取两次、有放回地取两次」这类说法时按有序；出现「一次取出、任取若干个」这类说法时按无序。两种口径都可行时，选列举时不容易漏的那种。
为什么： 有序与无序只是数样本点的两种方式，选哪种由题目的抽取方式决定。
为什么 n 和 m 必须用同一种计数口径？
看答案与理由
答： 因为 P(A)=m/n 要求 m 与 n 数的是同一套样本点。如果 n 按无序数、m 按有序数，m 会偏大，算出的比值就不是事件发生的概率。
为什么： 口径不一致是这类题最常见的错源，检查时只要问一句「n 和 m 是不是同一种数法」就能发现。
两种口径都用对时，为什么结果相同？
看答案与理由
答： 因为换成有序口径后，n 与 m 都会被同一个倍数放大（每个组合被数成相应个数的顺序），分子分母同时乘同一个数，比值不变。
为什么： 这正是「可以用有序数，也可以用无序数」的依据，也解释了两种做法结果一致。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 11
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。