样本空间列举不全或重复（分步列举最容易漏）
易错初稿待审bx2-c15-s1-k5
一句话 · 列举样本空间最常见的三类错误是：分步时某一步的分支整支漏掉、把顺序不同本应算两个的样本点合并、以及把样本点写成一堆含糊描述；正确做法是先定关注对象与是否计顺序，再分步列举、每步穷尽，最后用分步相乘核对总数。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
错写的 Ω：{两正, 一正一反, 两反}
正反 与 反正 先出现哪个，是两种不同结果
按顺序记录时，它俩要各算一个样本点
抛两次硬币，不少同学只写出三种结果，其实是漏了。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
只画 正面 → 正正、正反，得 2 个样本点
补上 反面 那一支 → 反正、反反，又得 2 个
合计 2 + 2 = 4，与 2 × 2 = 4 一致
答：漏了第一层「反面」整支，样本点少了一半
卡住了？展开这一段的讲解
先看漏分支：抛两次硬币只画了正面那一支。
- 2第 9 段例题
题目要求按先后顺序记录 ⇒ 计顺序
(正, 反) 与 (反, 正) 是两次结果不同的记录
合并后只剩 3 个，与 2 × 2 = 4 对不上
答：这一步合并就是漏，应各算一个样本点
卡住了？展开这一段的讲解
再看重复：按顺序记录时，把 正反 与 反正 合并了。
- 3第 10 段例题
第一步：定条件与关注对象——两次投掷，按顺序记录
第二步：第一层写 正、反 两支，一支不漏
第三步：每支再各分 正、反 两支，得 4 条路径
第四步：逐条写成有序对 正正、正反、反正、反反
第五步：核对 2 × 2 = 4，且四个样本点两两不同
卡住了？展开这一段的讲解
把正确做法完整走一遍，供对照。
③章节训练
第15章 概率 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 分步列举时某一层的分支没有穷尽，例如抛两次硬币只画了第一次为正面的那一支，漏掉反面那一支，样本点数少了一半
- 题目要求按先后顺序记录时，把 (正, 反) 与 (反, 正) 合并成一个样本点，导致个数与 2 × 2 = 4 对不上
- 不计顺序的选取问题里把 {1, 2} 与 {2, 1} 各算一次，重复计入，个数偏大
- 把样本空间写成一串含糊描述（如「一次正面一次反面」），而不是能一一区分的具体样本点，无法判断有没有重复
- 写完之后不核对，既没用分步相乘验证总数，也没检查每个样本点是否两两不同
看完自测（3 题）
为什么说「漏掉分支」是分步列举时最容易发生的错？
看答案与理由
答： 因为分步列举是一层一层展开的，某一步少画一支，这一支下面的所有结果就整片消失，而且从写出的部分看不出来。例如抛两次硬币只画第一次为正面的那一支，就只得 2 个样本点，比正确的 4 个少了一半。
为什么： 漏掉的样本点在纸上根本不存在，靠「再看一遍写过的内容」是发现不了的，只能逐层核对分支数。
什么情况下 (正, 反) 与 (反, 正) 各算一个样本点，什么情况下只算一个？
看答案与理由
答： 看题目对「关注对象」的要求。若要求按先后顺序记录两次结果，两次结果不同就是不同的记录，各算一个样本点，共 4 个；若只关心「正面出现了几次」这类不涉及顺序的量，则 (正, 反) 与 (反, 正) 对应同一个样本点「出现一次正面」，只算一个。
为什么： 是否计顺序由关注对象决定，这正是样本空间依赖于「关注什么」这条结论在列举时的具体落点。
写完样本空间后，怎样用一句话检查自己有没有漏或重？
看答案与理由
答： 用分步相乘核对总数：把每一步的结果种数相乘，得到的数应当与列举出的样本点个数相同。例如两次投掷每步各 2 种，2 × 2 = 4，列举出来必须是 4 个，并且这 4 个两两不同；对不上就说明漏了或重了。
为什么： 列举的完整性很难靠目测保证，但「总数是否等于分步相乘的结果」是一个可以立刻算出来的硬指标。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。