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列举样本空间的方法（列举法、树状图、列表法）

方法初稿待审

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一句话 · 列举样本空间有三条常用路径：样本点少时用列举法逐个写，两个维度时用列表法把行与列交叉，分步试验时用树状图一层层展开；选择依据是分几步、每步几种结果以及要不要计顺序。

开始练习（7 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 1 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

样本点只有两三个：一个一个写就够

分两步、每步都有若干结果：容易漏、容易重

办法跟着场景走，不要一种方法用到底

讲稿

样本点少的时候可以硬数，多了就得换个办法。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 7 段例题

    • 第一层：正、反两个分支

    • 每个分支再各分两支：正、反

    • 从根到叶四条路径，对应四个样本点

    • 答：Ω = {正正, 正反, 反正, 反反}

    卡住了？展开这一段的讲解

    连续抛两次硬币，用树状图写出样本空间。

  2. 2第 8 段例题

    • 行放第一枚的点数 1 到 6，列放第二枚的点数 1 到 6

    • 每个交叉格写作 (第一枚, 第二枚)

    • 数为和 7 的格子：共 6 格

    • 答：和为 7 的样本点有 (1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)

    卡住了？展开这一段的讲解

    抛两枚骰子，用列表法把第一个数的各种情况铺开。

  3. 3第 9 段例题

    • 先到乙地：3 条路，每一条都是一个分支

    • 再从乙地到丙地：每条分支再接 2 个分支

    • 树状图共 3 × 2 = 6 条路径

    • 答：不同走法共 6 种，每一种对应一个样本点

    卡住了？展开这一段的讲解

    从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 2 条路。

  4. 4第 10 段例题

    • 把 5 人分别记为 男1、男2、男3、女1、女2

    • 选 2 人不计先后，所以 (男1, 男2) 与 (男2, 男1) 是同一组

    • 按第一个人的编号往后配，避免重复

    • 答：Ω 含 男1男2、男1男3、男1女1、男1女2、男2男3、男2女1、男2女2、男3女1、男3女2、女1女2 共 10 个样本点

    卡住了？展开这一段的讲解

    从 3 名男生、2 名女生中随机选 2 人，写出样本空间。

③章节训练

第15章 概率 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

100 分

限时

55 分钟

覆盖知识点

14 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 画树状图时某一层的分支没有穷尽，例如只画了第一次为正面的一支，漏掉反面那一支
  • 两次分步试验中把 (正, 反) 与 (反, 正) 当成同一个样本点，个数少算
  • 不计顺序的选取问题里把 (男1, 男2) 与 (男2, 男1) 各算一次，个数多算
  • 列表时行或列只写了一部分，交叉格数量凭空减少，却以为已经列全
  • 不做最后的核对，既没用分步相乘验证总数，也没检查各行各列是否写满

看完自测（3 题）

  • 抛两枚骰子时，为什么列表法比随口列举更可靠？

    看答案与理由

    答： 因为两枚骰子是两个维度：把第一枚的点数 1 到 6 作为行、第二枚的点数 1 到 6 作为列，每个交叉格就是一个样本点，一共 6 × 6 = 36 格。行与列都写满时，既不会漏格，也不会重复记同一格。

    为什么： 列表法把「穷尽」变成看得见的行列，把「不重」变成一格一记录，这正是它比口述列举可靠的原因。

  • 树状图里，怎样检查自己有没有漏掉某个样本点？

    看答案与理由

    答： 看每一层的分支：该层有几种结果就必须画出几条分支，兄弟分支之间不能重复，也不能少画。所有叶子数相乘应等于样本点总数，例如两次抛硬币每层各 2 支，叶子共 2 × 2 = 4 个。

    为什么： 漏样本点几乎都发生在某一层分支没画全，所以检查树状图要逐层看分支数，而不是只看最后写了几个结果。

  • 从 5 个人里随机选 2 个人，样本空间里要不要把选出的先后顺序也算进去？

    看答案与理由

    答： 一般不计顺序。题目只说「选 2 人」，那就把两人看成一组成员，(男1, 男2) 与 (男2, 男1) 是同一组，只算一个样本点，共 10 个样本点；如果题目要求把选出的两人安排到不同岗位，才需要计顺序。

    为什么： 是否计顺序由题目问的「关注对象」决定，这正是 k1 里 Ω 依赖关注对象这条结论在列举方法上的直接体现。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。