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事件的关系与运算（包含、并、交、互斥、对立）

概念初稿待审

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一句话 · 事件是样本空间的子集，所以事件的关系与运算都能用集合语言表示：包含是 A ⊆ B，并是 A ∪ B，交是 A ∩ B，互斥是 A ∩ B = ∅，对立是 A ∩ B = ∅ 且 A ∪ B = Ω；对立一定互斥，互斥不一定对立。

开始练习（7 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 1 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

事件是 Ω 的子集，所以能谈包含与相等

两个事件也能像集合那样合并、求公共部分

「一定不发生在一起」也是一种关系

讲稿

两个事件之间，可以像集合那样比较、合并和相交。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 7 段例题

    • Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    • A =「点数是偶数」= {2, 4, 6}

    • B =「点数不小于 5」= {5, 6}

    • C =「点数是奇数」= {1, 3, 5}

    卡住了？展开这一段的讲解

    抛一次骰子，先把三个事件写成集合。

  2. 2第 8 段例题

    • B = {5, 6}，其中 5 不属于 A = {2, 4, 6}

    • 所以 B ⊆ A 不成立

    • 反过来 A 中的 2、4 也不属于 B

    • 答：A 与 B 互不包含，谁也不含谁

    卡住了？展开这一段的讲解

    先看包含：B 的样本点是不是都在 A 里面？

  3. 3第 9 段例题

    • A ∪ B = {2, 4, 5, 6}

    • A ∩ B = {6}，说明 6 出现时两件事都发生

    • A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω

    • A ∩ C = ∅，所以 A 与 C 互斥

    卡住了？展开这一段的讲解

    再求并和交：把样本点合起来，再找公共的。

  4. 4第 10 段例题

    • A ∩ C = ∅ 且 A ∪ C = Ω

    • 两条同时成立 ⇒ A 与 C 互为对立事件

    • {1} 与 {2} 只满足互斥，并起来不是 Ω ⇒ 不对立

    • 答：A 与 C 对立，{1} 与 {2} 只是互斥

    卡住了？展开这一段的讲解

    A 与 C 既互斥，并起来又是全体，所以它们对立。

③章节训练

第15章 概率 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

100 分

限时

55 分钟

覆盖知识点

14 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 把互斥与对立混为一谈，只检查「不同时发生」就断言对立，漏掉「并起来必须是 Ω」这一条
  • 把并事件与交事件的含义弄反，把「A 与 B 同时发生」写成 A ∪ B
  • 判断 A ⊆ B 时只核对了部分样本点，没有逐个检查 A 的每个样本点是否都属于 B
  • 把「A 或 B 发生」误解成「A 与 B 只能有一个发生」，其实同时发生也包含在并事件里
  • 求对立事件时漏掉样本点，写出的集合与 A 的并集不是 Ω，却仍按对立处理

看完自测（3 题）

  • 互斥与对立的区别和联系是什么？

    看答案与理由

    答： 区别在于要求的条件多少：互斥只要求 A ∩ B = ∅，对立还要加上 A ∪ B = Ω，即两个事件必有一个发生。联系是：对立一定互斥（因为对立的条件里包含互斥），但互斥不一定对立，例如抛一次骰子时 {1} 与 {2} 互斥，二者并起来是 {1, 2} 而不是 Ω。

    为什么： 抓住了「对立 = 互斥 + 并为 Ω」这个复合条件，就不会再把所有互斥事件都当成对立。

  • 已知 A ⊆ B，那么 A ∪ B 与 A ∩ B 分别等于什么？

    看答案与理由

    答： A ∪ B = B，因为 A 的样本点本来就都在 B 里，合起来还是 B；A ∩ B = A，因为公共部分只能是较小的那个集合 A。

    为什么： 用集合的包含关系去看，并和交的结果一眼可见；这也说明事件运算完全可以按集合运算来做。

  • 「A 或 B 发生」与「A、B 中恰好有一个发生」是同一件事吗？

    看答案与理由

    答： 不是。A ∪ B 表示 A 发生或 B 发生，允许两者同时发生；而「恰好有一个发生」排除了 A ∩ B 中的样本点。例如抛一次骰子 A = {2, 4, 6}、B = {5, 6}，点数 6 时两件事都发生，6 属于 A ∪ B 但不属于「恰好一个发生」。

    为什么： 「或」在概率的集合语言里是「至少一个」，这正是把并事件写成集合后最容易产生的理解偏差。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。