棣莫弗定理与复数的三角形式幂运算
公式初稿待审bx2-c12-s4-k3
一句话 · 棣莫弗定理 [r(cosθ + i sinθ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) 由乘法法则累乘得到，它把复数的 n 次幂化为模的 n 次幂与辐角的 n 倍；反用它可以求 zⁿ = a 的根，这样的根恰好有 n 个。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
乘法：模相乘、辐角相加
那么同一个复数乘自己 n 次呢？
z² = z · z 的模与辐角该是什么？
先猜，再验证
上一节学会了两个三角形式相乘，这一节把它重复很多次。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
求 (1 − i)⁶
1 − i 的模是 √2，辐角主值是 7π/4
由定理：模 (√2)⁶ = 8，辐角 6 × 7π/4 = 21π/2 = 10π + π/2
所以 (1 − i)⁶ = 8(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 8i
卡住了？展开这一段的讲解
第一组：求幂。先写成三角形式，再套定理。
- 2第 8 段例题
求 (1 + i)⁸
1 + i 的模是 √2，辐角主值是 π/4
模 (√2)⁸ = 16，辐角 8 × π/4 = 2π
所以 (1 + i)⁸ = 16(cos 2π + i sin 2π) = 16
即使辐角写成 9π/4，乘 8 得 18π，结果同样是 16
卡住了？展开这一段的讲解
第二组：指数大一点也一样，把辐角乘上去再折算成主值。
- 3第 9 段例题
解方程 z³ = −8
设 z = r(cosθ + i sinθ)，则 z³ = r³(cos 3θ + i sin 3θ)
−8 = 8(cos π + i sin π)
比较：r³ = 8 得 r = 2；3θ = π + 2kπ
θ = π/3 + 2kπ/3，取 k = 0, 1, 2 得三个不同的解
卡住了？展开这一段的讲解
第三组：反过来用，解方程。z 的 n 次方等于给定的数，会有 n 个解。
③章节训练
第12章 复数 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把模的 n 次方写成 n 倍的模（rⁿ 写成 nr）
- 把辐角的 n 倍理解成辐角的 n 次方，或写成 θ + n
- 解 zⁿ = a 时只取一个辐角，漏掉其余的根
- 求根时忘记辐角的周期性，没有加上 2kπ 这一步
- 把定理用在非正整数的指数上（本课只讲正整数次幂）
看完自测（3 题）
棣莫弗定理里的 n 次方为什么可以「分开」作用在模和角上？
看答案与理由
答： 因为每一次乘方都只是把乘法法则用一次：模相乘、辐角相加。累乘 n 次后模乘了 n 个 r、辐角加了 n 个 θ，于是得到 rⁿ 与 nθ。
为什么： 定理不是独立的公式，而是乘法法则的重复使用；抓住这一点，模写 n 次方、角写 n 倍就不会混。
用棣莫弗定理算 (1 + i)⁸，模与辐角分别怎么算？
看答案与理由
答： 模是 (√2)⁸ = 16，辐角是 8 × π/4 = 2π，所以结果是 16(cos 2π + i sin 2π) = 16。
为什么： 先把 1 + i 化成三角形式得到模与辐角，再分别做「模的 n 次方」和「辐角的 n 倍」；辐角超过 2π 时可按周期性折算。
方程 z³ = −8 有几个复数根？为什么？
看答案与理由
答： 有三个。因为辐角要满足 3θ = π + 2kπ，即 θ = π/3 + 2kπ/3，k 取 0、1、2 得到三个不同的角，再往后取就与前面重复了。
为什么： 两个复数相等要求模相等且辐角相差 2π 的整数倍，这个「相差 2π 的整数倍」正好在 k 取 n 个连续整数时给出 n 个不同的角，所以 n 次方程有 n 个根。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
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- ai-draft
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- 未经教师人工审核
- 数学校验
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- 段落数
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本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。本节内容教材标为选学，讲义按选学定位处理。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。