复数三角形式的乘除运算（模相乘除、辐角相加减）
公式初稿待审bx2-c12-s4-k2
一句话 · 三角形式下乘法是模相乘、辐角相加，除法是模相除、辐角相减；这两条都能由括号展开后套两角和、两角差公式得到，几何上对应向量的伸缩与旋转。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
z₁ = r₁(cosθ₁ + i sinθ₁)
z₂ = r₂(cosθ₂ + i sinθ₂)
问题：z₁z₂ 的模与辐角分别是多少？
猜一猜：会不会与 r₁r₂、θ₁ + θ₂ 有关？
上一节把复数写成了模乘一对三角函数，这一节就用这个写法做乘法。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
2(cos60° + i sin60°) × 3(cos30° + i sin30°)
= (2 × 3)[cos(60° + 30°) + i sin(60° + 30°)]
= 6(cos90° + i sin90°) = 6i
对照：用代数形式算，2(1/2 + (√3/2)i) 乘 3((√3/2) + (1/2)i)，同样得 6i
卡住了？展开这一段的讲解
第一组：两个特殊角的三角形式相乘，直接把模相乘、角相加。
- 2第 9 段例题
√2(cos45° + i sin45°) × 2(cos30° + i sin30°)
= 2√2[cos75° + i sin75°]
模 2√2 ≈ 2.828，辐角 75°
只写 cos75° + i sin75° 就丢了模，答案不完整
卡住了？展开这一段的讲解
第二组：幅角相加时不要漏掉模，模也要跟着相乘。
- 3第 10 段例题
√2(cos(π/4) + i sin(π/4)) ÷ [2(cos(π/6) + i sin(π/6))]
= (√2 / 2)[cos(π/4 − π/6) + i sin(π/4 − π/6)]
= (√2 / 2)[cos(π/12) + i sin(π/12)]
化成代数形式是 (1 + i)/2，实部虚部都是 √2/4
卡住了？展开这一段的讲解
第三组：除法就是模相除、辐角相减，顺序不能反。
③章节训练
第12章 复数 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把乘法的「辐角相加」记成「辐角相减」，混淆了两角和与两角差的公式
- 除法里把顺序写反，用 θ₂ − θ₁ 而不是 θ₁ − θ₂
- 只对辐角做运算，忘掉模也要相乘或相除
- 用除法公式时不检查分母是否为 0
- 遇到负角或超过 2π 的角就慌，硬当成算错，其实它们照样是合法辐角
看完自测（3 题）
为什么三角形式下乘法是「模相乘、辐角相加」？
看答案与理由
答： 把两个括号乘开后，实部恰好是 r₁r₂(cosθ₁cosθ₂ − sinθ₁sinθ₂)、虚部恰好是 r₁r₂(sinθ₁cosθ₂ + cosθ₁sinθ₂)，这两式正是两角和的余弦与正弦，所以模乘在一起、辐角加在一起。
为什么： 法则不是额外规定的，而是乘法展开与两角和公式合起来的结果；记住推导就不会把加号写成减号。
用 2i 乘复数 1 + i，模和辐角各怎么变？
看答案与理由
答： 模乘以 2，从 √2 变成 2√2；辐角加 π/2，从 π/4 变成 3π/4。
为什么： 乘数 2i 的模是 2、辐角主值是 π/2，按「模相乘、辐角相加」即可读出变化；也可用代数形式算 i(1+i) 后写成 2(−1+i) 来复核。
计算 6(cos(π/2) + i sin(π/2)) 除以 3(cos(π/6) + i sin(π/6))。
看答案与理由
答： 模相除得 2，辐角相减得 π/2 − π/6 = π/3，所以结果是 2(cos(π/3) + i sin(π/3))，也就是 1 + √3 i。
为什么： 除法按「模相除、辐角相减」直接写；顺序一定要是被除数的辐角减去除数的辐角。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
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