含量词命题的真假判断与恒成立、能成立问题

方法初稿待审

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一句话 · 含参恒成立与能成立，先把参数分离到一边，再按不等号方向取最值：a ≤ f(x) 恒成立取 min f、能成立取 max f；a ≥ f(x) 恒成立取 max f、能成立取 min f。最后检查端点开闭。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

含量词命题：判真假 / 求参数

讲稿

含「任意」或「存在」的命题怎么判真假、怎么求参数？

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- ∀x∈[1,2], x²−a≥0，求 a
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：若对任意 x∈[1,2] 都有 x²−a≥0，求 a 的范围。
2第 9 段例题
- a ≤ x²
- 恒成立 ⇒ a ≤ 最小值
卡住了？展开这一段的讲解
思路：移项得 a≤x²。恒成立要求对每个 x 都成立。
3第 10 段例题
- min x² = 1 ⇒ a ≤ 1
卡住了？展开这一段的讲解
关键一步：x∈[1,2] 时 x² 的最小值是 1，在 x=1 处取到。故 a≤1。
4第 11 段例题
- 能成立 ⇒ a ≤ max x² = 4
卡住了？展开这一段的讲解
再看存在：若存在 x∈[1,2] 使 x²−a≥0，此时只需一个 x 成立。用最大值 4，得 a≤4。

第2章常用逻辑用语 · 限时综合卷

题量

17 题

总分

110 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

17 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

恒成立该看最大值还是最小值？
看答案与理由
答：看不等号方向。分离成 a ≤ f(x) 时取 f 的最小值；分离成 a ≥ f(x) 时取 f 的最大值。口诀不能脱离方向。
为什么： 全称命题只要一个不满足就不成立。
能成立该看哪个最值？
看答案与理由
答：同样看方向。分离成 a ≤ f(x) 时取 f 的最大值；分离成 a ≥ f(x) 时取 f 的最小值。
为什么： 存在命题只需一个见证。
分离参数得到 a≤f(x)，要求恒成立，a 与 f(x) 最小值什么关系？
看答案与理由
答： a 不超过 f(x) 的最小值。
为什么： a 要不超过所有 f(x)。

未填密钥

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

内容状态公开，不藏着

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